Nei lavori topografici e catastali capita frequentemente di dover trasformare le coordinate dei punti da un sistema di riferimento all’altro. Pensiamo ad esempio a quando dobbiamo ricostruire un confine presente sulla mappa d’impianto. In quel caso la situazione è questa:

  • il confine c'è solo sulla mappa e noi dobbiamo ricostruirlo sul posto;
  • individuiamo sulla mappa una serie di punti di inquadramento, quali spigoli di fabbricati o termini, che vediamo essere tuttora presenti sul posto;
  • andiamo in campagna e rileviamo tali punti di inquadramento;
  • a questo punto, grazie proprio a questi punti omologhi tra mappa e rilievo, possiamo sovrapporre la mappa alla realtà dei luoghi;
  • fatto ciò, il gioco è fatto, perché avendo la mappa sovrapposta al nostro rilievo diventa facile desumere gli elementi per andare a tracciare il confine.

La stessa cosa succede anche se il confine è stato generato da un frazionamento redatto con Pregeo. In questo caso la dividente da ritracciare sul posto è stata rilevata dal tecnico frazionatore (confinatore). Noi abbiamo a disposizione il suo libretto delle misure (richiesto al Catasto) e quindi:

  • andiamo sul posto con il TF in mano e rileviamo i PF o altri punti materializzati ai quali il frazionatore ha appoggiato il suo rilievo;
  • tornati a casa, abbiamo a che fare con due rilievi, il nostro e quello del frazionamento, che hanno in comune alcuni punti;
  • quindi, proprio grazie a questi punti in comune, riusciamo a sovrapporre i due rilievi, portandoci così la dividente (confine) sul nostro rilievo;
  • e anche qui il gioco è fatto perché possiamo facilmente ricavare le misure per andare a picchettare il confine.

Bene, ma come facciamo a sovrapporre la mappa al rilievo nel primo caso, o il nostro rilievo a quello del frazionamento nel secondo?

Beh, molti geometri lo fanno con il metodo del  fai-da-te , cioè secondo una loro libera interpretazione di come va eseguita questa operazione, pensando si tratti di una procedura che, se pur svolta in modo "spartano", alla fine non porti a differenze significative sulla posizione del confine.  In realtà questa convinzione può avere un qualche fondamento solo nel secondo caso, quello della sovrapposizione dei due rilievi, nel senso che, se entrambi sono stati eseguiti correttamente, anche una sovrapposizione manuale da CAD può portare a risultati attendibili (salvo restando che non si riesce comunque a conoscere gli scarti sui punti in comune).

Nel primo caso invece, quello della sovrapposizione mappa-realtà, il rischio di commettere svarioni anche di qualche metro è elevatissimo (non dimentichiamoci mai che in una mappa in scala 1 : 2000, sbagliare di 1 mm significa spostare il confine di 2 metri). Pensare quindi di sovrapporre la mappa al rilievo sul CAD facendo combaciare i punti di inquadramento come ci pare meglio , è quanto di più fuorviante ci sia nel compiere questa operazione.

Guardiamo l'animazione qui sotto: abbiamo 7 punti di inquadramento. Chi adotta il fai-da-te tende a operare in questo modo: fa una prima sovrapposizione raffigurata dai punti blu che si spostano dal sistema rilievo al sistema mappa e perviene ad una prima soluzione (Soluzione 1). Poi si accorge che  i punti 1, 4, 5, 7 hanno scarti buoni, mentre i punti 2, 3, 6 hanno invece scarti alti. Allora sposta ancora la mappa (Soluzione 2) e si accorge che, volendo, potrebbero avere scarto basso i punti 2, 3, 5, 6; ma così facendo andrebbero invece fuori tolleranza i punti 1, 4, 7. Dopo un po' di tentativi, alla fine, per non saper né leggere e né scrivere, decide di adottare la soluzione che taglia la testa al toro (Soluzione 3) e fa in modo che tutti i punti abbiano uno scarto più o meno della stessa entità.

Vi sembra corretta questa soluzione?

Certo che no! Chi ci dice, infatti, che non sia effettivamente corretta la prima oppure la seconda soluzione, ciascuna delle quali mostrava alcuni punti attendibili (scarto basso), e quindi da mantenere, ed altri inattendibili (scarto alto), e quindi da non considerare? In questa ipotesi è chiaro che mantenere tutti i punti di inquadramento è del tutto scorretto perché significa lasciare anche quelli che andrebbero assolutamente scartati.

Per colmare questa incertezza alcuni tecnici si ostinano nell'adottare soluzioni manuali (quindi comunque fai-da-te ) che possano in qualche maniera rivelare lo scarto dei punti. Nel mio libro Tecniche di riconfinazione (a pag. 413 per chi lo possiede) ho descritto una di queste procedure, definendola "estenuante" perché comporta una mole di lavoro impressionante e che non dà comunque alcuna garanzia di aver ottenuto i risultati corretti. Pertanto vi risparmio (e mi risparmio) di descriverla anche qui.

Qual è allora la procedura corretta per sovrapporre mappa e rilievo?

È la rototraslazione ai minimi quadrati, un algoritmo ampiamente presente nella letteratura tecnica in materia topografica, ma che solo pochi geometri conoscono. Molti infatti pensano che si tratti di un calcolo fuori dalla loro portata e preferiscono quindi continuare ad ignorarlo, finendo sempre con l'andare sul fai-da-te. Ripeto quindi qui la domanda di cui al sotto-titolo di questo articolo:

È davvero così difficile capire l’algoritmo della rototraslazione ai minimi quadrati?

No, non è così difficile, a patto che ci si metta la buona volontà (come sempre) e che ci si ricordi dalla trigonometria studiata alla scuola geometri questa semplice regoletta:

In un triangolo rettangolo un cateto è uguale all'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto o per il coseno dell'angolo adiacente.

Per quelli di voi disposti a munirsi di questi due strumenti (buona volontà e regoletta del triangolo rettangolo) cercherò quindi di spiegare l'algoritmo in questo articolo e nel successivo.

Partiamo dalla situazione di base illustrata nell'animazione che segue: abbiamo due punti, P e Q , dei quali conosciamo le coordinate sia nel sistema rilievo che nel sistema mappa.  P e Q sono quindi i nostri due punti di inquadramento tramite i quali vogliamo ricavare i parametri per poter trasferire anche tutti gli altri punti del rilievo nel sistema mappa, così da potere poi ricavare i dati per il tracciamento del confine. È superfluo dire che per poter compiere questa operazione sono necessari come minimo proprio due punti, perché se ne avessimo uno solo, i due sistemi potrebbero tranquillamente ruotare uno sull'altro. Nell'immagine il sistema cartesiano del rilievo è quello degli assi X-Y in rosso con origine nel punto O' che corrisponde al punto di emanazione del rilievo stesso, vale a dire alla base GPS per rilievi eseguiti con tecnologia GNSS, oppure alla prima stazione TS per rilievi celerimetrici. Il sistema mappa è quello degli assi E-N in blu, orientato a Nord e con l'origine O della rappresentazione cartografica della mappa stessa (Cassini-Soldner, Gauss-Boaga, ecc.).  In figura il sistema rilievo non è invece orientato a Nord, perché non è per niente detto che lo sia. Potrebbe esserlo per un rilievo GPS, che è intrinsecamente orientato sul Nord dell'ellissoide WGS84, ma anche in questo caso tale Nord non coincide comunque con quello della mappa, che appartiene ad un sistema di riferimento (ellissoide) diverso. Se poi si tratta di un rilievo celerimetrico, l'orientamento è del tutto arbitrario e corrisponde a quello che il topografo ha fissato sulla sua prima stazione TS. I due sistemi, rilievo e mappa, sono quindi ruotati tra loro di un certo angolo  ε .

Bene, come facciamo allora a trovare i parametri che ci permetteranno di trasportare qualsiasi punto dal sistema rilievo al sistema mappa?
Dobbiamo trovare le relazioni che legano le coordinate rilievo alle coordinate mappa di P e Q . Con riferimento alla figura di sinistra e alla scritta evidenziata sopra in giallo, si vede che la Est di P ( e p) è data dalla somma di tre segmenti:

  1. E 0  = la Est mappa dell'origine del rilievo.
  2. + CG = cateto del triangolo rettangolo O'CG pari quindi all'ipotenusa O'G per il seno di ε . Ma l'ipotenusa O'G altro non è che y p.
  3. + BP  = cateto del triangolo rettangolo GBP  pari quindi all'ipotenusa GP  per il coseno di ε . Ma l'ipotenusa  GP  altro non è che  x p.

Passando alla figura di destra, sempre dalla scritta evidenziata sopra in giallo, si vede invece che la Nord di  P  ( n p) è data anche questa dalla somma, questa volta algebrica perché c'è anche una sottrazione, di altri tre segmenti:

  1. N 0  = la Nord mappa dell'origine del rilievo.
  2. + O'C  = cateto del triangolo rettangolo O'CG pari quindi all'ipotenusa O'G per il coseno di ε , con l'ipotenusa O'G  che è sempre  y p.
  3. - GB   = cateto del triangolo rettangolo GBP  pari quindi all'ipotenusa GP  per il seno di ε , con l'ipotenusa  GP  che è sempre x p.

La stessa cosa avviene per il punto Q . Ne risulta quindi che le equazioni che legano le coordinate X-Y del rilievo alle coordinate E-N della mappa per i punti P e Q sono quelle riportate qui sotto a sinistra, trasformate poi sulla destra nella forma matematica classica che prevede sempre lo zero alla destra dell'uguale.

Questo è il primo passo dell'algoritmo. Nel prossimo articolo aggiungeremo i due successivi:

  1. la difformità tra mappa e realtà (rilievo), vale a dire il concetto di variazione di scala;
  2. la necessità, sempre presente in topografia, di agire con sovrabbondanza di dati, in questo caso di punti di inquadramento, al fine di poter selezionare quelli attendibili e scartare gli altri.

Continua ...

Pubblicato il 18/03/2020
geom. Gianni Rossi
Responsabile corsi online del Collegio Geometri e G.L. di Padova
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