Nelle materie di competenza del geometra, e in particolare in topografia, la matematica ha un ruolo fondamentale. O meglio, dovrebbe averlo. Uso questo condizionale perché, purtroppo, il percorso scolastico di molti geometri (per non dire tutti, sottoscritto incluso) non è andato oltre un certo livello. Diciamo che se si sono trattate con buon approfondimento le funzioni trigonometriche di base: seno, coseno, tangente, cotangente, siamo già fortunati(1).

Il problema è che nella topografia moderna si utilizzano tecnologie che possono essere padroneggiate solo se si possiede un livello matematico più elevato. Ma poi non è nemmeno solo una questione di tecnologie perché negli anni si sono evoluti moltissimo anche gli algoritmi risolutivi delle attività topografiche. Prendiamo per esempio la rototraslazione mappa-rilievo nelle riconfinazioni trattata in un altro articolo. Fino a vent'anni fa si calcolava in maniera "spartana", cioè per azimut e distanze. Se lo fai oggi, rischi una ben magra figura nel momento in cui ti trovi di fronte al collega di controparte che adotta invece la rototraslazione ai minimi quadrati, che è l'algoritmo corretto da utilizzare.

Sulla base di queste considerazioni, e spinto dalla mia passione per la matematica, in particolare per quella applicata alla topografia, ho quindi pensato di iniziare una serie di articoli in cui cerco di condividere le mie conoscenze con quelli di voi che desiderano fare un passo in avanti anche su questo terreno. L'obiettivo è piuttosto ambizioso: arrivare a spiegare branche come il calcolo matriciale e le derivate, strumenti essenziali negli algoritmi topografici. Ma per raggiungerlo, essendo consapevole della ritrosia che molti avvertono verso una materia che ritengono difficile "a prescindere"(2), andrò molto, ma molto, per gradi. Partirò con questo articolo dal cercare di spiegare il "perché" di alcune regole che tutti diamo per scontate. Dopodiché, con l'intento di far nascere in chi legge, non dico la passione, ma almeno la curiosità per la matematica, nella prima serie di articoli parlerò anche di alcuni aspetti talmente affascinanti da sembrare incredibili, come ad esempio la dimostrazione secondo cui la somma di tutti i numeri naturali dà come risultato -1/12 e lo sconvolgente caos nel quale navigano i numeri primi.

Bene, fatta la premessa sullo scopo di questa serie di articoli, partiamo con una prima e semplice regoletta che tutti sappiamo fin dalle scuole medie:

Un numero negativo moltiplicato per un altro numero negativo dà come risultato un numero positivo!

È uno di quei concetti di base che ciascuno di noi dà per scontato, quasi fosse un “assioma”, cioè un principio che è evidente di per sé stesso e che perciò non necessita di essere dimostrato. Ma non è così, e pertanto la domanda di cui al titolo è perfettamente lecita. Ma quanti di noi sanno rispondere? Sono sicuro che, leggendo queste righe, più di qualcuno dirà:

È semplicemente una convenzione, come tante altre in matematica!

Ma questo ci riporta più o meno al concetto di assioma e, come detto, non è la risposta corretta. La regola del “meno x meno = più” è invece dimostrabile, anche se paradossalmente è un po’ più complicato di quanto si possa pensare considerando la semplicità dell’enunciato. Cercherò quindi di fornire la dimostrazione nella maniera più comprensibile che mi riesce.

Per riuscirci, dobbiamo fare un passo indietro e tornare a riconsiderare cosa significa moltiplicare due numeri  m e n che, come ricorderete dalla scuola media, si chiamano il primo “moltiplicando” (cioè il numero che sta per essere moltiplicato), il secondo “moltiplicatore” (cioè quello che moltiplica il primo) con il risultato che prende il nome di “prodotto”:

 n

Questa espressione non è altro che una forma di scrittura compatta per dire che vogliamo sommare il numero m a sé stesso per n volte. Ma abbandoniamo subito la notazione letterale e facciamo un esempio numerico che, come sempre, rende molto meglio l’idea. Scrivere:

 4

significa semplicemente risparmiare tempo e spazio rispetto a scrivere:

3 + 3 + 3 + 3
<   4 volte   >

Naturalmente in questo esempio andiamo sul velluto perché entrambi i numeri sono positivi, per cui trasformare a ritroso la moltiplicazione in somma è del tutto intuitivo. Le cose cominciano a complicarsi nel momento in cui introduciamo il segno meno. Prima di farlo, però, conviene anche in questo caso fare un altro passo indietro(3) e tornare a focalizzare il significato del segno positivo e negativo dei numeri. Torniamo quindi al concetto fondamentale dei numeri stessi considerando quella che in matematica viene definita la “retta dei numeri” qui sotto raffigurata, cioè la retta composta dalle due semirette che hanno origine sullo 0 e si dipartono una verso destra, quella dei numeri positivi, e l’altra verso sinistra, quella dei numeri negativi.

Dire che un numero è positivo, come il nostro +3, significa quindi che ci spostiamo, a partire dallo 0, di tre unità sulla semiretta di destra. Se poi a questo numero sommiamo ancora +3, significa che dalla posizione raggiunta ci spostiamo di altre tre unità. Se ripetiamo l’operazione 4 volte, arriviamo al numero +12. Analogamente, dire che un numero è negativo, come -3, significa invece spostarsi, sempre a partire dallo 0 verso sinistra di tre unità. E se sommiamo ancora -3, ci spostiamo di altre tre unità verso sinistra finché, dopo averlo sommato per 4 volte, raggiungiamo il numero -12.

Torniamo quindi alla nostra moltiplicazione e consideriamo negativo il moltiplicando (da qui in avanti, per maggior chiarezza, indicherò anche il segno + e racchiuderò i numeri tra parentesi):

(-3)  (+4) 

Valutare questa espressione non è molto più complicato di quella vista sopra che aveva entrambi i numeri positivi. Basta infatti trasformarla nella somma del moltiplicando -3 per 4 volte:

(-3) + (-3) + (-3) + (-3)
<          4 volte           >

Il risultato è chiaramente -12 come abbiamo visto sulla retta dei numeri, quindi:

(-3)  (+4) = -12

La faccenda si complica se invece consideriamo negativo il moltiplicatore:

(+3)  (-4) 

Si complica perché questa espressione si legge:

Sommo il numero +3 per “meno 4 volte”!

Ma cosa vuol dire “meno 4 volte”? È evidentemente un’espressione che facciamo fatica a comprendere. Anzi, direi che non ha proprio senso perché le “volte” sono un elemento oggettivo che come tale non può essere negativo(4). Allora, come ne usciamo? Beh, qui non stiamo troppo a scervellarci e chiediamo aiuto alla matematica stessa che ci insegna la nota proprietà commutativa della moltiplicazione:

Cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia.

Quindi scrivere: (+3)  (-4)  è lo stesso che scrivere (-4)  (+3). Ricadiamo pertanto nel caso precedente che sappiamo risolvere:

(-4)  (+3) = -12

E arriviamo finalmente al quesito di partenza, cioè di quando sia il moltiplicando che il moltiplicatore sono negativi. Quanto vale questa moltiplicazione?

(-3)  (-4)  = X

Per risolvere questa equazione, usiamo i “trucchetti” che si adottano quasi sempre nelle dimostrazioni matematiche. Primo trucchetto: partiamo da questa banale equazione:

(-3) + (+3) = 0

Secondo trucchetto: moltiplichiamo entrambi i membri di questa nuova equazione per (-4):

[ (-3) + (+3) ] • (-4) = 0 • (-4)

Il risultato a destra dell’uguale è immediato: qualsiasi numero, sia esso positivo che negativo, moltiplicato per 0 dà sempre 0. Lo zero è infatti l’elemento nullo della moltiplicazione. Tradotto in parole semplici, visto che moltiplicare significa sommare n volte, se al nulla sommiamo n volte il nulla, otteniamo sempre il nulla. A sinistra dell’uguale dobbiamo moltiplicare il (-4) sia con il (-3) che con il (+3) che sono dentro le parentesi quadre, e otteniamo:

(-3) • (-4) + (+3) • (-4) = 0

Qui sembrerebbe che ci fossimo incartati perché nel primo addendo a sinistra torna la moltiplicazione con entrambi i fattori negativi che è proprio quella che volevamo risolvere. Ma pazientiamo ancora un po’, perché invece la moltiplicazione del secondo addendo la sappiamo risolvere (l’abbiamo vista sopra):

(+3)  (-4) = -12

Quindi la nostra equazione diventa:

(-3) • (-4) + (-12) = 0

A questo punto sommiamo +12 ad entrambi i membri:

(-3) • (-4) + (-12) + (+12) = 0 + (+12)

Il (-12) e il (+12) a sinistra si annullano e arriviamo finalmente alla soluzione:

(-3) • (-4) = +12

Non ditemi che non ve l’avevo detto che era un pochino complicato.

Ma se invece di trattare la questione con l’approccio matematico puro, la affrontiamo in termini di matematica finanziaria, il tutto diventa molto più semplice. Facciamo l’ipotesi che il moltiplicando 3 sia un attivo monetario, se positivo e un debito se negativo, e che il moltiplicatore corrisponda invece ad un incremento (guadagno) se positivo oppure ad una perdita se negativo. Le quattro combinazioni che si hanno sono:

attivo (+3) • incremento (+4) = attivo +12

debito (-3) • incremento (+4) = debito -12

attivo (+3) • perdita (-4) = debito -12

debito (-3) • perdita (-4) = attivo +12

ed hanno il seguente significato:

  1. Ho un attivo di 3 euro sul quale realizzo un incremento (guadagno) pari a 4 volte; ottengo quindi un attivo di 12 euro.
  2. Ho un debito di 3 euro e lo incremento di 4 volte; ottengo un debito di 12 euro.
  3. Ho un valore di 3 euro che perdo per 4 volte, mi ritrovo con un debito di 12 euro.
  4. Ho un debito di 3 euro che perdo per 4 volte. Ma perdere un debito significa guadagnare quel valore, quindi mi ritrovo con un attivo di 12 euro.

Note:

(1) Sì, perché ai corsi online su materie topografiche ho dovuto più di qualche volta rispiegare come si calcola l'azimut tra due punti.

(2) Come diceva Totò.

(3) È interessante notare come spesso in matematica per fare un passo in avanti bi-sogna farne prima qualcuno indietro.

(4) Ricordiamoci che i numeri negativi non esistono in natura: noi possiamo avere 10 pecore, poi possiamo scendere a 5 pecore, poi a 2 pecore, poi a 1 pecora, infine possiamo dire di avere 0 pecore; ma non possiamo avere -1 pecora.

Pubblicato il 28/03/2020
geom. Gianni Rossi
Responsabile corsi online del Collegio Geometri e G.L. di Padova
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